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8ⁿ+nが2ⁿ+nで割りきれるような正の整数nをすべて求めよ。

2011年　名古屋大学

数字の2を書いた玉が1個、数字の1を書いた玉が3個、数字の0を書いた玉が4個あり、これら合計8個の玉が袋に入っている。
以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて、この状態の袋から1度に1個ずつ玉を取り出し、取り出した玉は袋に戻さないものとする。

(1)　玉を2度取り出すとき、取り出した玉に書かれた数字の合計が2である確率を求めよ。
(2)　玉を4度取り出すとき、取り出した玉に書かれた数字の合計が4以下である確率を求めよ。
(3)　玉を8度取り出すとき、次の条件が満たされる確率を求めよ。
　　　条件：全てのn=1,2,…,8に対して、1個目からn個目までの玉に書かれた数字の合計はn以下である。

2009年　第19回・日本数学オリンピック本選

[　]内の選択肢によって空所を埋め、日本文の意味を表す英文を完成するとき、（＿＿＿）の空所に入れるものは何ですか。
その選択肢の番号を書きなさい。（文頭にくる語も小文字で始めてあります）

(1)誰が来ようと気持ちは変わりません。
　＿＿＿ （＿＿＿） ＿＿＿ ＿＿＿ , ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ mind.　
　[�@ change �A comes �B I �C matter �D my �E no �F who �G won't ]

(2)お仕事の進み具合はどうですか。
　＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ （＿＿＿） ＿＿＿ ＿＿＿？
　[�@ along �A are �B getting �C how �D you �E your �F with �G work ]

(3)夏休み中の営業時間は何時から何時までですか。
　What ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ （＿＿＿） ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿？
　[�@ are �A business �B during �C hours �D period �E summer vacation �F the �G your ]

(4)待っていた電車が来ました。
　＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ （＿＿＿） ＿＿＿ ＿＿＿ for.
　[�@ been �A comes �B have �C here �D the �E train �F waiting �G we ]

(5)週3回はこのような運動をすることをお奨めします。
　We ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ （＿＿＿） ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ week.
　[�@ a �A be �B that �C done �D exercise �E recommend �F this kind of �G three times ]

2010年　龍谷大学